Racines de l'unité et polygones - Corrigé

Énoncé

Déterminer les solutions dans `\mathbb{C}` des équations suivantes, puis tracer le polygone dont les sommets ont pour affixes ces solutions.

1. `z^6=1`

2. `z^8=1`

3. `z^{12}=1`

Solution

1. 

\(\begin{align*}z^6=1 & \iff z \in \mathbb{U}_6 \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{6}} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{6}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{6}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{6}} ; \text e^{\frac{10i\pi}{6}} \right\rbrace \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{3}} \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; \text e^{i\pi} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{5i\pi}{3}} \right\rbrace \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{3}} \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; -1 \ ; -\text e^{\frac{i\pi}{3}} ;-\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \right\rbrace \end{align*}\)
donc \(S = \left\lbrace 1 ; \text e^{\frac{i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} ; -1 ; -\text e^{\frac{i\pi}{3}} ; -\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \right\rbrace\)

2.

\(\begin{align*}z^8=1 & \iff z \in \mathbb{U}_8 \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{8}} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{8}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{8}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{8}} ; \text e^{\frac{10i\pi}{8}} ; \text e^{\frac{12i\pi}{8}} ; \text e^{\frac{14i\pi}{8}} \right\rbrace\\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{4}} \ ; \text e^{\frac{i\pi}{2}} \ ; \text e^{\frac{3i\pi}{4}} \ ; \text e^{i\pi} ; \text e^{\frac{5i\pi}{4}} ; \text e^{\frac{3i\pi}{2}}; \text e^{\frac{7i\pi}{4}} \right\rbrace \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{4}} \ ; i \ ; \text e^{\frac{3i\pi}{4}} \ ; -1 ; -\text e^{\frac{i\pi}{4}} ; -i ; -\text e^{\frac{3i\pi}{4}} \right\rbrace \end{align*}\)
donc \(S = \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{4}} \ ; i \ ; \text e^{\frac{3i\pi}{4}} \ ; -1 ; -\text e^{\frac{i\pi}{4}} ; \ -i ; -\text e^{\frac{3i\pi}{4}} \right\rbrace\)

3.

\(\begin{align*}z^{12}=1 & \iff z \in \mathbb{U}_{12}\\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{12}} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{12}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{12}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{10i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{12i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{14i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{16i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{18i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{20i\pi}{12}} ; \text e^{\frac{22i\pi}{12}} \right\rbrace \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{6}} \ ; \text e^{\frac{i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{i\pi}{2}} \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; \text e^{\frac{5i\pi}{6}}; \text e^{i\pi} ; \text e^{\frac{7i\pi}{6}} ; \text e^{\frac{4i\pi}{3}}; \text e^{\frac{3i\pi}{2}} ; \text e^{\frac{5i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{11i\pi}{6}} \right\rbrace \\ & \iff z \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{6}} \ ; \text e^{\frac{i\pi}{3}} ; i \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; \text e^{\frac{5i\pi}{6}}; -1 ; \text e^{\frac{7i\pi}{6}} ; \text e^{\frac{4i\pi}{3}}; -i ;\text e^{\frac{5i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{11i\pi}{6}} \right\rbrace \end{align*}\)
donc \(S = \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{i\pi}{6}} \ ; \text e^{\frac{i\pi}{3}} ; i \ ; \text e^{\frac{2\pi}{3}} \ ; \text e^{\frac{5\pi}{6}}; -1 ; \text e^{\frac{7i\pi}{6}} ; \text e^{\frac{4i\pi}{3}}; -i ; \text e^{\frac{5i\pi}{3}} ; \text e^{\frac{11i\pi}{6}} \right\rbrace\)